已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,

过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B,C两点,且AF=3,BC=6。(1)求双曲线的方程(2)过F的直线l交双曲线左支D点,右支E点,P为DE的中点,若以AF为直径的圆... 过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B,C两点,且AF=3,BC=6。
(1)求双曲线的方程(2)过F的直线l交双曲线左支D点,右支E点,P为DE的中点,若以AF为直径的圆恰好经过P点,求直线l的方程。
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百度网友1d056ce
2011-02-03 · TA获得超过1.3万个赞
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解:
(1)
设A(-a,0)F(c,0)
则:AF=a+c=3
由于BC垂直x轴
则:BC=2b^2/a=6
又:c^2=a^2+b^2
则联立以上三式得:
a=1,b=√3
则:双曲线的方程:x^2-y^2/3=1

(2)A(-1,0),F(2,0)
设直线l斜率为k,D(x1,y1),E(x2,y2)P(xp,yp)
则l:y=k(x-2)
联立x^2-y^2/3=1得:
3x^2-k^2(x-2)^2=3
(3-k^2)x^2+4k^2x-4k^2-3=0
则:x1+x2=-4k^2/(3-k^2),x1x2=-(4k^2+3)/(3-k^2)
由于P为DE的中点
则:xP=(1/2)(x1+x2)=2k^2/(k^2-3)
yp=(1/2)(y1+y2)
=(1/2)[k(x1-2)+k(x2-2)]
=(1/2)[k(x1+x2)-4k]
=6k/(k^2-3)
以AF为直径的圆恰好经过P点
则:PA⊥PF
则:向量PA*向量PF=0
则:(-1-xp,-yp)*(2-xp,-yp)=0
即:xp^2-xp-2+yp^2=0
xp,yp代入并化简得:
3k^2=1
则:k=±√3/3
则:l:y=±(√3/3)(x-2)
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