Question

一道关于椭圆的题，求解！

已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2，左右焦点分别为F1,F2，点P（2，√3），点F2在线段PF1的中垂线上。（1）求椭圆E的方程。（2）设l1，l2是过点G（3/2，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围。（3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线OM与直线ON的斜率之积为定值（O为坐标原点）。

Answer 1

解:
(1)设F1(-c,0),F2(c,0)
由于F2在线段PF1的中垂线上
则:|PF2|=|F1F2|
即：√[(2-c)^2+(√3-0)^2]=2c
(c-2)^2+3=(2c)^2
解得：c=1
由于：e=c/a=√2/2
则：a=√2
则：a^2=2,b^2=a^2-c^2=1
则椭圆E的方程：x^2/2+y^2=1

(2)由于：l1，l2互相垂直
则：k*kl2=-1
则：kl2=-1/k

[1]当l1,l2中有一条直线垂直X轴时，
由于G(3/2,0)在椭圆外
故不能使l1,l2均与椭圆有两交点

[2]l1,l2均不与x轴垂直时
设l1:y=k(x-3/2),l2:y=(-1/k)(x-3/2)
分别与E：x^2+2y^2=2联立得：
(1+2k^2)x^2-6k^2x+(9k^2/2)-2=0
(1+2/k^2)x^2-6x^2/k^2+9/(2k^2)-2=0
则判别式△1=(-6k^2)^2-4(1+2k^2)(9k^2/2 -2)>0
△2=(-6/k^2)^2-4(1+2/k^2)(9/2k^2 -2)>0
解得：k属于(-2,-1/2)U(1/2,2)

(3)直线OM与直线ON的斜率之积为定值-1/4
证明：
设M(xM,yM),N(xN,yN)
A(x1,y1)B(x2,y2)
由于A,B在E:x^2+2y^2=2上
则：x1^2+2y1^2=2,x2^2+2y2^2=2
两式相减得：
(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)
则：kAB=kl1
=(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/[(-2)(y1+y2)]
由于：M为AB中点
则：2xM=x1+x2,2yM=y1+y2
则：kl1=(2xM)/[(-2)(2yM)]=-xM/(2yM)
同理可得：kl2=-xN/(2yN)
由于：kl1*kl2=-1
则：[-xM/(2yM)]*[-xN/(2yN)]=-1
化简得：xMxN=-4yMyN

所求kOM*kON
=(yM/xM)*(yN/xN)
=(yMyN)/(xMxN)
=(yMyN)/(-4yMyN)
=-1/4