Question

如果方程x＾4+6x＾3+9x＾2-3px-9qx+2p＾2=0，有且仅有一个实根，则p的值为？

Answer 1

p=0
该方程有且仅有一个实根，分以下几种情况：
①： 四相等实根，即为（x-a）^4=0 展开得
x^4-4*x^3*a+6*x^2*a^2-4*x*a^3+a^4=0 比较上式得：
-4a=6 6a^2=9 -(3p+9q)=-4a^3 a^4=2p^2 以上几式联立a无解
②：两相等实根，两虚根 （x-a）^2*(x+b)^2,展开得x^4+2*x^3*b+x^2*b^2-2*x^3*a-4*x^2*a*b-2*x*a*b^2+x^2*a^2+2*a^2*x*b+a^2*b^2=0 比较上式得：
2b-2a=6 b^2-4ab+a^2=9 2ab(a-b)=-(3p+9q) 2p^2=a^2*b^2
以上几式联立得a=0，b=3或a=-3,b=0 带入得（x+3)^2*X^2=0
展开得x^4+6*x^3+9*x^2=0 得2p^2=0 p=0
③一实根，三虚根 此种情况不可能出现 方程有虚数根 则成对出现 且互为共轭

Answer 2

x⁴ + 6x³ + 9x² - 3px² - 9px + 2p² = 0
x²(x²+6x+9) - 3px(x+3) + 2p² = 0
[x(x+3)]² - 3p [x(x+3)] + 2p² = 0
[x(x+3) - p] [ x(x+3) - 2p ] = 0
x² + 3x - p = 0 或 x² + 3x - 2p = 0

有且仅有一个实数根
∴ Δ₁ = 9+4p = 0 且 Δ₂ = 9+8p < 0 解得 p = - 9/4
或 Δ₁ = 9+4p < 0 且 Δ₂ = 9+8p = 0 无解

故 p = - 9/4