Question

请教一道与反函数有关的题

已知y=f（x)是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是y=f^-1（x），且y=f（x+1）的图像过A（-4,0），B（2,3）两点，若|f^-1（x+1）| ≤3，则x的取值范围是（ ）
A.【-4,2】
B.【-1,2】
C.【0,3】
D.【1,3】

这道题我有答案，所以我最看重的是解题思路和过程。请详细写出解题思路和过程，谢谢！

Answer 1

解：
【1】∵函数f(x)在定义域上单调递增，
∴反函数f^-1(x)也在定义域上单调递增。
【2】函数y=f(x+1)的图像过A(-4,0),B(2,3)两点。
∴有f(-3)=0.且f(3)=3.
∴函数y=f(x)的图像过点C(-3,0),D(3,3).
∴根据函数与反函数对应值的关系可知，f^-1(0)=-3,且f^-1(3)=3.
即反函数y=f^-1(x)的图像过点E(0,-3),F(3,3).
【3】∵反函数是单调递增函数，
∴由上面可知，当0≤x≤3时，有-3≤f^-1(x) ≤3.
即当0≤x≤3时，|f^-1(x)| ≤3.
【4】平移。把函数f^-1(x)的图像向左平移一个单位，
易知，此时有-1≤x≤2.但仍有|f^-1(x+1)| ≤3.
【注：根据“左加右减”原则，函数f^-1(x)的图像向左平移一个单位，就得到函数f^-1(x+1)
的图像，再数形结合可知，此时仍有|f^-1(x+1)| ≤3.】
即当-1≤x≤2时，有|f^-1(x+1)| ≤3.
∴不等式|f^-1(x+1)| ≤3的解集为[-1,2]
【5】关键：数形结合。