Question

已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上

证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等

Answer 1

1、
化简圆的方程
x^2+y^2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m^2-2m-2=0

x^2-2(2m-1)x+(2m-1)^2+y^2+2(m+1)y+(m+1)^2-(2m-1)^2-(m+1)^2+5m^2-2m-2=0

[x-(2m-1)]^2+(y+m+1)^2=4

所以圆心坐标为

x0=2m-1
y0=-m-1
满足x+2y+3=0组成一条直线方程。而且这些圆的半径为常数2

2、
实际直观上这个结论已经成立了，下面是代数证明过程。
平行于上述直线的方程可以设为x+2y+k=0

交点满足下方程组：
x+2y+k=0 ---> x=-k-2y
[x-(2m-1)]^2+(y+m+1)^2=4
将x=-k-2y代入圆的方程

（k+2y+2m-1)^2+(y+m+1)^2=4
设交点为(x1,y1),(x2,y2)

弦长公式
Sqrt[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
=Sqrt[(y2+y1)^2-4y1y2+(x2+x1)^2-4x1x2]

运用韦达定理，得到的结果与m无关，所以该直线在各圆上截的的弦长相等。

Answer 2

证明：

式子x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2用配方法变形为：（x-2m+1)²+(y+m+1)²-4

所以：圆的方程为（x-2m+1)²+(y+m+1)²=4

圆心为（2m-1，-m-1)

设圆心在直线y=kx+b上，则将圆心坐标代入得：-m-1=k(2m-1)+b，即-m-1=2km-k+b

由于不论m取何值时圆心都在这条直线上

所以：-m=2km，-1=-k+b

解得：k=-1/2, b=-3/2

所以：直线L的方程为y=(-1/2)x-(3/2)

由于圆的半径是不变的，始终是2，只是圆心的位置在直线L上变化，即方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 的圆是一个等圆的集合，只是圆心在直线L上。如图

所以平行直线L的直线被这些圆所截得的弦的长度相等。