Question

方程a|x|=|x+a|仅有负根，则实数a的范围是？详细过程 参考答案为（0，1]

Answer 1

a|x|=|x+a|
因x<0
所以|x|=-x
-ax=±(a-x)
即-ax±(a-x)=0
则有 x+a-ax=0和x+a+ax=0两式
当x+a-ax=0时
解得 x=-a/(1-a)=a/(a-1)
当a=0时，x=0，x≮0
当a＞0时，a-1＜0，x<0
当a＞0时，a-1＞0，x＞0，x≮0
当a＜0时，a-1<0，x＞0，x≮0
当x+a+ax=0时
解得 x=-a/(1+a)
当a=0时，x=0，x≮0
当a＞0时，x<0
当a＜0时，a+1＜0，x＜0
当a＜0时，a+1＞0，x<0
综上
得:0<a≤1 原式才仅有负根，并且 x=-a/(a+1)

Answer 2

a|x|=|x+a|>=0
如果a<0，则 |x+a|=0，则 a|x|=0，从而 x=0，不合题意。
所以，a>=0
如果a=0，则|x+a|=0，所以x=0，不合题意。
所以a>0

如果x>0，则 ax=x+a，解得 x=a/(a-1)>0，a>1或者 a<0
也就是说在 a<0是不可能的，所以a>1
也就是说 a>1时，方程有正根，而现在是方程不能有正根，所以 a<=1
也就是说，只有 0<a<=1，x才可能有负根。

我们再来判断 0<a<=1时，是不是一定有负根
如果方程仅有负根，则 |x|=-x
-ax=|x+a|

当 |x|>a时，-x<-a
-ax=-x-a
a=1时，不成立，有
-x=a/(1-a)<-a，解得 1<a<2
在这个范围内不会只有负根。

当 |x|<a时， -a<x<0
-ax=x+a
x=-a/(a+1)>-a
a(1-1/a+1)>0，恒成立

所以 只能是 0<a<=1，原式才仅有负根，并且 x=-a/(a+1)