Question

定义在R上的偶函数f(x),当x>=0,f(x)=e^x+a,其实e是自然对数的底数

1)当x>=0,f(x)>=xe恒成立，求a的取值范围
2）对1）中a的最小值，对x属于【1，m】恒有f(x-2)<=xe,求正整数m的最大值

Answer 1

1)即xe<=e^x+a在x>=0时恒成立，即a>=xe-e^x恒成立，令g(x)=xe-e^x,g'(x)=e-e^x,当g'(X)=0，x=1，且x>1，g'(x)<0,x<1,g'(x)>0，所以，g(x)在[0,1]单调递增，>1，单调递减，又g(x=1)=0，所以g(x)<=0即a>=0
2)a取最小值，f(x)=e^x，f(x-2)=e^(x-2)，所以对[1,m]，恒有e^(x-2)-xe<=0，令g(x)=e^(x-2)-xe，
g(1)=e^(1-2)-e=1/e-e<0。 g'(x)=e^(x-2)-e=o (我手边没有计算器，你就自己算一下吧，求得有两解，得到x1=3，x2=? ，表明递增递减，然后得出g(x2）为最大值，在x1 到x2之间寻找最大的符合要求的正整数（可采用代入计算法，就几个数字）即为m的最大值）