Question

求复合函数中未知数的最小值

已知函数f(x)=lg(1+2^x+a*4^x)/5在（负无穷，-1）上有意义，求a的最小值。
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Answer 1

已知函数f(x)=lg(1+2^x+a*4^x)/5在（-∞，-1）上有意义，求a的取值范围。
解：令y=1+2^x+a*4^x=1+u+au²
其中u=2^x,当-∞<x<-1时，0<u<1/2.为使f(x)在（-∞,-1)上有意义，必须使
当0<u<1/2时，y>0. 已知y(0)=1>0, 由y(1/2)=1+1/2+a/4=3/2+a/4>0,得a>-6.
当a=-6时,y=-6u²+u+1=-6(u-1/12)²+25/24≤25/24,即当a=-6时,,在区间
(0, 1/2)内,恒有0<y≤25/24.
当a=0时,在0<u<1/2内, 1<y=1+u<3/2.
当a>0时,对任何x,恒有y>0
故a的取值范围为: a>-6.

Answer 2

令2^x=t(t属于0，正无穷)
at^2+t+1>0为定义域
1。a>0
对称轴为-1/2a<0
在（0，正无穷）上at^2+t+1>0单调递增
2。a=0
t+1>0则t>-1(满足)
3。a<0对称轴为-1/2a>0
单调递减。不符合，肯定会使得at^2+t+1<0的
所以最小a=0