Question

已知函数f(x)=lnx-ax+（1-a)/x -1 (a属于R） 求：当a小于等于1/2时，讨论f(x)的单调性。

拜托。尽量详细。谢谢。

Answer 1

设实数x1<x2<1/2
则f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2-a(x1-x2)+(1-a)(1/x1-1/x2)
=ln(x1/x2)+a(x2-x1)+(1-a)(x2-x1)/(x1x2)
=ln(x1/x2)+a(x2-x1)(1-(1/a -1)/(x1x2))
因为x1<x2<1/2
所以x1/x2<1 ln(x1/x2)<0
又因为a=<1/2
所以1/a>=2 (1/a -1)>=1
又因为x1x2<=1/4
所以1/(x2x1)>=4 (1/a -1)/(x1x2)>=1 (1-(1/a -1)/(x1x2)<=0
所以f(x1)-f(x2)<0 所以单调增

Answer 2

先求导 导数是f'(x)=1/x-a-(1-a)/x^2
当导数大于0时为增函数，反之为减函数 令导数等于0 得出一个式子 再用a的范围判断大于0还是小于0