Question

已知函数f（x）＝ax³＋bx²在x＝－1时取得极值，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为12；

函数g（x）＝f（x）＋mx，x∈[1，＋∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0。.⑴求函数f（x）的解析式；⑵求实数m的值；⑶求证：g（x）≥－7。

Answer 1

解：
(1)由f(x)=ax^3+bx^2
得：f'’(x)=3ax^2+2bx
由于f(x)=ax^3+bx^2在x=-1处取极值
则有：f’(-1)=0
即：3a-2b=0 ----(1)
又:f(x)在x=1处的切线的斜率为12
则：f’(1)=12
即：3a+2b=12 ----(2)
由(1)(2)得：a=2,b=3
则f(x)=2x^3+3x^2
(2)
g(x)=f(x)+mx=2x^3+3x^2+mx
则g’(x)=6x^2+6x+m
则g’(x)图像的对称轴为x=-1/2
由于x∈[1，＋∞）
则由图像可得x=1时，g’(x)取最小值g’(1)
又g'（x）的最小值为0
则：g’(1)=0
则：6+6+m=0
则：m=-12
(3)
g(x)=2x^3+3x^2-12x
g’(x)=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)
由于x>=1
则当x=1时,g' (x)=0
由g' (x)图像可知：
x>=1时，g' (x)>=0恒成立
即：x>=1时，g(x)单调递增
故g(x)在[1，＋∞）上的最小值为g(1)
则：g(x)>=g(1)
又：g(1)=2*1+3*1-12*1=-7
则：g(x)>=-7