Question

已知a是实数，函数f（x）=√x（x—a）。

设g(a)为f（x）在区间[0,2]上的最小值
①写出g(a)的表达式
②求a的取值范围，使得—6≤g(a)≤—2
要详解

Answer 1

1)令t=√x,则t>=0,于是令h(t)=t^3-at,h'(t)=3t^2-a,于是当a<=0时，h'(t)=3t^2-a>=0,h(t)在t∈[0,+∞)上单调递增，从而f(x)在[0,+∞)上单调递增；
当a>0时，h(t)的极值点为t=±√（a/3）(令h'(t)=0)，由于x≥0,故h(t)=f(x)只有一个极值点x=a/3,且O≤x≤a/3即0≤t≤√(a/3)时,h'(t)≤0;x≥a/3即t≥√(a/3)时，h'(t)≥0，故当x∈[0,a/3]时,f(x)单调递减；x∈[a/3,+∞）时,f(x)单调递增。
（i）由于a<=0时,f(x)单调递增，此时f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)=0,g(a)=0;a>0时，分两种情形：a/3≥2，即a≥6，由上一题知f(x)在区间[0,2]上单调递减，此时g(a)=f(2)=√2*(2-a);0<a/3≤2,即0<a≤6，由上一题知，f(x)在区间[0,a/3]上单调递减，在[a/3,2]上单调递增，此时g(a)=f(a/3)=-(2√3/9)*a^1.5,
综上，g(a)=0(a<=0),g(a)=f(2)=√2*(2-a)(a≥6),g(a)=-(2√3/9)*a^1.5(0<a≤6)。
（ii）a<=0时，g(a)=0不满足-6<=g(a)<=-2；
a≥6时，令-6<=g(a)=f(2)=√2*(2-a)<=-2，即-3√2≤2-a≤-√2,2+√2≤a≤2+3√2,故此时a∈[6,2+3√2];
0<a≤6时，令-6<=g(a)=)=-(2√3/9)*a^1.5<=-2，即3√3≤a^1.5≤9√3,3≤a≤3^(5/3),而3^(5/3)>6,故此时3≤a≤6，综上,a∈[3,6]。