Question

急急急！！初中数学题！在线等！

用初中知识解答

抛物线y=-x^2+1的图像与x 正半轴的交点为A，将线段OA分成n等分，设分点分别为p1，p2，p3……，pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1,Q2,……Qn-1，再记直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,^……的面积分别为S1,S2，……，这样就有S1=(n^2-1)/2n^3,S2=(n^2-4)/2n^3,……，记W=S1+S2+S3+……Sn-1，当n 越来越大时，你猜想W最接近的常数是？为什么

Answer 1

易得Sk=(n^2-k^2)/(2n^3)
W=[(n^2-1^2)+(n^2-2^2)+…+(n^2-(n-1)^2)]/(2n^3)
=[(n-1)n^2-(1^2+2^2+…+(n-1)^2)]/(2n^3)
关键就是解决1^2+2^2+…+(n-1)^2等于什么的问题

有恒等式n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1
n^2=(n^3-(n-1)^3+3n-1)/3

1^2=(1^3-0^3+3*1-1)/3
2^2=(2^3-1^3+3*2-1)/3
┆
(n-1)^3=((n-1)^3-(n-2)^3+3*(n-1)-1)/3
全部加起来
1^2+2^2+…+(n-1)^2
=[(1^3+2^3+…+(n-1)^3)-(0^3+1^3+…+(n-2)^3)+3*(1+2+…+(n-1)-(n-1)]/3
=[(n-1)^3+3(n-1)(1+(n-1))/2-(n-1)]/3
=[n^3-3n^2+3n-1+3n^2/2-3n/2-n+1]/3
=[2n^3-6n^2+6n-2+3n^2-3n-2n+2]/6
=(2n^3-3n^2+n)/6

W=[n^3-n^2-(2n^3-3n^2+n)/6]/(2n^3)
=(4n^3-3n^2-n)/(12n^3)
=1/3-1/(4n)-1/(12n^2)
当n非常大时，或说n趋向于+∞（正无穷大）
1/(4n)=0,1/(12n^2)=0
W=1/3

这是积分的思想

Answer 2

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ；W=S1+S2+S3+……Sn-1=【n^2（n-1）-（n-1）n（2n-1）/6】/2n^3=(5n^3-6n^2+n)/12n^3;分子分母同除以n^3，n非常大时，以n为分母的数都是零，可得1/3。
此题目可有两个方法解决，一是数学极限的方法，二是数学积分的方法

Answer 3

只要你知道这个公式就没问题了：1~2 2~2 … n~2=n(n 1)(2n 1)/6我做出的答案是1/3我手机只能输入这么多。

Answer 4

买上一本辅导书自个儿看看，找不找得到例题。