Question

调和平均数小于等于算术平均数应怎样证明？

Answer 1

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，不多说了。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；假设当n＝k时命题成立，即((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。
那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1)
用引理＝(s／k)^k* a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)。

下面介绍个好理解的方法：琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）