Question

(09北大)圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD的外接圆的半径

Answer 1

余弦定理：三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
或cosB=(a²+c²-b²)/2ac
或cosC=(a²+b²-c²)/2ab

正弦定理：三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是△ABC外接圆半径）

解：一个四边形只知道四边长，是不固定的。但当他是圆内接四边形时，形状就固定了。因为圆内接四边形对角互补。
即 ∠B+∠D=180°，或∠A+∠C=180°
所以 cosB+cosD=0，或cosA+cosC=0

连接AC，设AC=x
△ABC中，cosB=(1²+2²-x²)/(2×1×2)=(5-x²)/4
△ADC中，cosD=(3²+4²-x²)/(2×3×4)=(25-x²)/24
(5-x²)/4+(25-x²)/24=0
30-6x²+25-x²=0
x²=55/7
x=(√385)/7（负值已舍）

所以cosB=(5-x²)/4=-5/7
因为 sin²B+cos²B=1
所以 sinB=(2√6)/7

四边形ABCD的内接圆 即△ABC的内接圆
所以 △ABC中，2R=AC/sinB=【(√385)/7】/【(2√6)/7】=(√2310)/12
所以 R=(√2310)/24

所以四边形ABCD的外接圆的半径 (√2310)/24

【计算较繁，可能算错，所以还请楼主自己验算一下，麻烦您了】
【希望对你有帮助】