初中奥数题求解
2：如果有2010名学生排成一列，按1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,…的规律报数，那么第2010名学生所报的数是多少？（请看清题目）
3：用1根长为a的铁丝弯成一个等边三角形，已知等边三角形的面积为9，现在这个三角形内任取一点P，测得点P到等边三角形三边的距离和为3，则a的值为……
4：已知n＞1，a＞1且a^n-1是质数，求a的值，并说明n也是质数
5：如图，△ABC的面积为1，E是AD的中点，BD：DC=a：b，求图中阴影部分的面积（用含ab的代数式表示）[图如下]
题目有点多呃，希望有详细的解答过程，麻烦了。 展开
1：令x=1
则得到(2×1^2-3×1+1)^3=a0×1^6+a1×1^5+a2×1^4+a3×1^3+a4×^2+a5×1+a6
=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 ①
令x=-1
同理得到a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=216 ②
①-②得到2(a1+a3+a5)=-216
a1+a3+a5=-108
∴答：a1+a3+a5的值为-108
2：将上面的那列数可以写成
1,2 2个数
1,2,3,2， 4个数
1,2,3,4,3,2， 6个数
1,2,3,4,5,4,3,2， 8个数
1,2,3,4,5,6,5,4,3,2, 10个数
1,2,3,....n......,3,2, (n-1)×2个数
∴总共有2+4+6+8+10+....+(n-1)×2=【2+(n-1)×2】×（n-1）×1/2=n(n-1)个数
而2010介于45×(45-1)=1980和46×(46-1)=2070之间
所以第2010个数在1,2,3,4,.....46......,3,2,这一列中
∵2010-1980=30（注意：如果求出的数＞46，则接下来还要降下来数）
∴第2010个数就是这列数中的第30个数
∴第2010个同学报的数为30
3：问题似乎少了些，有了前面那两个条件就可以求了，最后一个条件没有用
由于铁丝长a，而等边三角形三边相等，所以等边三角形的边长为a/3
如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于D，
由于等边三角形三线合一
∴AD也是BC的中线，
∴BD=CD=1/2 ×BC=a/6
∵AB=a/3
∴由勾股定理得AD²+BD²=AB²
AD=±根号（AB²-BD²）
∵AD＞0
∴AD=根号（AB²-BD²）=(a/2根号3=根号3 ×a)/2
∵S=1/2 ×AD×BC=1/2 ×（根号3 a/2）× a/3 =9
∴解得a=6×3^(1/4)
∴答：a的值为6×3^(1/4)
4：题目应该少了个条件：a,n都是正整数，否则题目无解
∵a^n-1是质数
∴有两种情况，
①a^n-1是偶数，即2
则a^n=3，
而3不可能分成a^n使得n＞1，a＞1且a,n都是正整数
故这种情况不可能
②a^n-1是奇数，则a^n是偶数，所以a必为偶数
∵由n次方差公式可得
a^n-1=[a^(n-1)×1^0+a^(n-2)×1^1+a^(n-3)×1^2+…+a^0×1^(n-1)](a-1)
=[a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+…+a^0](a-1)
反过来看，则有=[a^0+a^1+a^2+...+a(n-1)](a-1)
∵a^n-1是质数
∴它只能分解成1×某个数
∴有a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+…+a^0=1或者a-1=1
显然a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+…+a^0=1不可能
∴必有a-1=1
∴a=2
现在，假设n是合数，则n=xy,x,y都是＞1的正整数
那么a^n-1也就改写成
(a^x)^y -1=(a^x-1)[.......一个多项式]
∵x＞1,x为正整数，a=2
∴a^x-1必然＞2
那么那个多项式必然也＞2
那么(a^x)^y -1也就可以分成几个＞2的单项式的乘积了
那么(a^x)^y -1也就不是质数了，是合数了
∴n不能分成xy,x,y都是＞1的正整数
∴n是质数
∴综上所述：a=2,n必定为质数
5：连结FD,设AF=x,CF=y，
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∴S△ABE=S△BDE，S△AEF=S△DEF
∴S阴影=S△AEF+S△BDE=S△AEF+S△ABE=S△ABF=x/(x+y)
而S阴影=S△AEF+S△BDE=S△BDE+S△DEF=S△BDF=y/(x+y) × a/(a+b)=ay/(x+y)(a+b)
∴得到：
x ay
-------===-----------------
x+y (x+y)(a+b)
ax+bx=ay
解得：y=(a+b)x/a
而S阴影=x/(x+y)=x/[x+ (a+b)x/a]=x/[(2a+b)x/a]=a/(2a+b)
首先两个参量是正整数，考虑到质数只有2这一个偶数，所以先判断。a^n=3，根据题意，显然不可能。所以a^n必定是偶数，所以a必定是偶数。
显然，当a=n=2时符合题目要求，所以当n是质数时满足题意。
现在假设n不一定是质数，也就是说存在n是合数也能满足题目要求，设n=x*y。
a^n-1=(a^x)^y-1=(a^x-1)[a^(x-1)+a^(x-2)...+1]（类似平方差和立方差），即总能找到a^n-1的差值的两个因子，所以假设不成立，n只能是质数。
令X=-1,得到：a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=6^3=216
上式-下式得：a1+a3+a5=108
2、不妨以1为边界来数人数分组，也就是数包括前一个1而不包括后一个1的人数，那么我们所数的人数排列可以是这样的：
12（第一组）
1232（第二组）
123432（第三组）
12345432（第四组）
可以看到，人数是这样增长的：2，4，6，8…………即小组人数=2*组数
那么我们所数的人就是这些数字之和，即2=1*2（第一组末）6=2*3（第二组末）12=3*4（第三组末）20=4*5（第四组末）
那么我们可以找到规律，所数到下一个1前面那个报2的同学的排名，等于他所在的组数乘以他所在的组数+1。
有了以上思想，我们可以找找2010那个同学所在的组N，首先，先找那个组最后一个报2的同学，即该组最后一个报2的同学：N*（N+1）≥2010而前一组最后一个报2的同学（N-1）*N≤2010，可得N=45，而那个同学所在的排名为：45*46=2070，而上一组同学最后一个报2的同学的排名为44*45=1980，向右数30位，可得第2010个同学所报的数目为30。（如果要从2070开始数的话，要考虑该组所报的最高数为46.还要降的）
3、假设有等边三角形ABC，其中AB=BC=AC=A/3，设P到各边距离为DA,DB,DC，DA+DB+DC=3可将三角形面积S-ABC分为三个小三角形面积之和：S-ABC=S-APC+S-BPC+S-APB,所以：9=(AB*DC+BC*DA+AC*DB)/2=（DA+DB+DC）*A/3*1/2=A/2
所以A=18
4、不知道你们学过平方差没有。。就是X^2-1=(X-1)(X+1)，这个公式的扩展版，即N次方差的公式：（X^N-1）一定可以化为(X-1)(你好我是N-1次多项式)，由题意可知，A^N-1是质数，即只能被自己和1整除，而A^N-1=(A-1)(N-1次多项式)，那么我们可以知道A^N-1至少是会被A-1，和一个N-1次多项式整除的，如果A-1不等于1或者不等于它自己，那么A^N-1就不是质数，显然我们可以得到A=2.再来看N，N可以分为质数，和非质数（废话），假设N是非质数，那么我们可以将N分解为N=X*Y，那么原来的式子可以写为：2^(X*Y)-1，那么就可以分解为(2^X-1)(2^Y的多项式)，也违背了质数的条件，所以N为质数。
5、不会。。。
