Question

设函数f（x）=x｜x-a｜+b （1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a的平方+b的平方=0

（2）设常数b<（2倍的根号2）-3,且对任意x属于[0,1],f（x）,0恒成立，求实数a的取值范围。
步骤详细 谢谢哦

Answer 1

f(x)为奇函数，那么f(x)过原点，b=0
f(-x)=-f(x)
取x=1 ｜1-a｜=-｜-1-a｜
显然有a=0
所以a^2+b^2=0
若a^2+b^2=0 a=b=0
那么f(x)=x｜x｜显然为奇函数

第二文没看懂

Answer 2

f(x)=x|x-a|+b 是奇函数时 f(0)=0; 所以 b=0;
x不等于0时 f(x)=-f(-x)---》x|x-a|=x|-x-a|
因为x不等于0--->|x-a|=|x+a|-->|x-a|^2=|x+a|^2
-->x^2-2ax+a^2=x^2+a^2+2ax
--->4ax=0;因为x不等于0 所以 a=0
所以f(x)=x|x-a|+b为奇函数时 a^2+b^2=0

当a^2+b^2=0时 a=b=0
所以f(x)=x|x-a|+b=x|x|
f(x)=x|x|=-(-x|x|)=-(-x|-x|)=-f(-x);
所以a^2+b^2=0 时 f(x)=x|x-a|+b为奇函数

f(x)为奇函数的充要条件是a^2+b^2=0