Question

过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线L,垂足为P,

过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线L,垂足为P,设L与双曲线的左右两支相交于A、B。
求证：（1）点p在双曲线的右准线上。
（2）求双曲线的离心率e的变化范围。

Answer 1

分析：易得渐近线斜率为正的方程为：y=(b/a)x,于是不防设P(xo,(b/a)xo),F(c,0)，又向量FP=(xo-c,(b/ a)xo)，向量OP=(xo,(b/a)xo)由题有FP垂直OP，于是向量OP*向量FP=xo(xo-c)+(b/a)^2xo^2=0,得到[(a^2+b^2)/a^2]xo^2=cxo,其中a^2+b^2=c^2,且xo!=0得xo=a^2/c，即点P在右准线上得证。2）2）数形结合。PF与左右支有两交点，则只需考虑PF斜率k（<0）与渐近线y=-(b/a)x斜率-b/a相对大即可，当k>-b/a,与曲线左右两交相交，当k<-b/a,与曲线右支有两交点，但与左支相离。当k=-b/a,仅与右支有一个交点，于是得k= [(b/a)xo]/(xo-c)>-b/a,并注意到几何关系c>xo，化简得2xo<c,即2(a^2/c)<c,从而e^2=(c/a)^2>2,于是离心率范围为：e>2^(1/2)。

Answer 2

飞哥