谁能做一下这几道高数题,会的帮帮我谢谢!
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解:1.∵直线2x-6y+1=0的斜率是1/3,且垂直所求直线
∴所求直线的斜率是-3
∵所求直线与曲线y=x³+3x²-5相切,且y'=3x²+6x
∴3x²+6x=-3 ==>(x+1)²=0 ==>x=-1
代入曲线方程得 y=-3
∴切点的坐标是(-1,-3)
∴所求直线方程是y=-3(x+1)-3,即y=-3x-6;
2.∵f'(x)=5x^4+20x³+15x²=5x²(x+1)(x+3)
令f'(x)=0,得x1=0,x2=-1 (∵x∈[-1,4],∴舍去x=-3)
又f(-1)=0,f(0)=1,f(4)=2625
∴函数f(x)最大值是2625,最小值是0;
3.∵y'=2x/e^x-x²/e^x=x(2-x)/e^x
y''=(2-4x+x²)/e^x=(x-2-√2)(x-2+√2)/e^x
令y'=0,得x1=0,x2=2
又当x<0,或x>2时,y'<0。即函数在区间(-∞,0)∪(2,+∞)上单调递减
当0<x<2时,y'>0。即函数在区间(0,2)上单调递增
∴x1=0是函数的极小值点,极小值是f(0)=0
x2=2是函数的极大值点,极大值是f(2)=4/e^2
又令y''=0,得x1=2+√2,x2=2-√2
当x<2-√2,或x>2+√2时,y''>0..即函数在区间(-∞,2-√2)∪(2+√2,+∞)上是凹函数
当2-√2<x<2+√2时,y''<0.即函数在区间(2-√2,2+√2)上是凸函数
∴x1=2+√2与x2=2-√2都是函数的拐点;
4.∵f(x)=x³+ax²+bx+a²,f'(x)=3x²+2ax+b
且函数在x=1时有极值10
∴1+a+b+a²=10,3+2a+b=0
解方程组得 a1=-3,b1=3
a2=4,b2=-11
故所求值是a=-3,b=3或a4,b=-11。
∴所求直线的斜率是-3
∵所求直线与曲线y=x³+3x²-5相切,且y'=3x²+6x
∴3x²+6x=-3 ==>(x+1)²=0 ==>x=-1
代入曲线方程得 y=-3
∴切点的坐标是(-1,-3)
∴所求直线方程是y=-3(x+1)-3,即y=-3x-6;
2.∵f'(x)=5x^4+20x³+15x²=5x²(x+1)(x+3)
令f'(x)=0,得x1=0,x2=-1 (∵x∈[-1,4],∴舍去x=-3)
又f(-1)=0,f(0)=1,f(4)=2625
∴函数f(x)最大值是2625,最小值是0;
3.∵y'=2x/e^x-x²/e^x=x(2-x)/e^x
y''=(2-4x+x²)/e^x=(x-2-√2)(x-2+√2)/e^x
令y'=0,得x1=0,x2=2
又当x<0,或x>2时,y'<0。即函数在区间(-∞,0)∪(2,+∞)上单调递减
当0<x<2时,y'>0。即函数在区间(0,2)上单调递增
∴x1=0是函数的极小值点,极小值是f(0)=0
x2=2是函数的极大值点,极大值是f(2)=4/e^2
又令y''=0,得x1=2+√2,x2=2-√2
当x<2-√2,或x>2+√2时,y''>0..即函数在区间(-∞,2-√2)∪(2+√2,+∞)上是凹函数
当2-√2<x<2+√2时,y''<0.即函数在区间(2-√2,2+√2)上是凸函数
∴x1=2+√2与x2=2-√2都是函数的拐点;
4.∵f(x)=x³+ax²+bx+a²,f'(x)=3x²+2ax+b
且函数在x=1时有极值10
∴1+a+b+a²=10,3+2a+b=0
解方程组得 a1=-3,b1=3
a2=4,b2=-11
故所求值是a=-3,b=3或a4,b=-11。
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