Question

高中数学题，麻烦详解，谢谢大家、、

M为△内一点，过M的任一直线交AB边于点P，交AC边于点Q，且满足AB/AP+AC/AQ=3,那么M一定是三角形ABC的什么心

Answer 1

因为P为AB边上(除A外)的任意一点
所以当P与B重合时，可得，AB:AB+AC:AQ=3
所以AC:AQ=2，此时Q为AC边中点，即直线BM过AC边中点
同理，因为Q为AC边上(除A外)的任意一点
所以当Q与C重合时，可得，AB:AP+AC:AC=3
所以AB:AP=2，此时P为AB边中点，即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，则
因为ED是△ABC的一条中位线，所以EG:BF=AE:AB=1/2
因为EG:FC=EM:MC=DM:MB=ED:BC=1/2，所以EG:BF=EG:FC=1/2，所以BF=FC
因为BF=FC，所以F为BC边上中点
因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F
所以M为△ABC的重心
如题，若已知M为重心，亦可求证:AB:AP+AC:AQ=3。
证明:作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，则
因为M为△ABC的重心，所以D为BC边中点
因为BF平行于PQ，CE平行于PQ，所以BF平行于CE
因为BD=DC，BF平行于CE，所以GD=DH
因为M为△ABC的重心，所以AM=2MD=MD+(MG+GD)
因为GD=DH，AM=MD+(MG+GD)
所以AM=MD+MG+DH=(MD+DH)+MG=MH+MG
因为AM=MH+MG，所以3AM=(AM+MH)+(AM+MG)=AH+AG
因为3AM=AH+AG，所以3=AH:AM+AG:AM
因为BF平行于PQ，所以AH:AM=AB:AP
因为CE平行于PQ，所以AG:AM=AC:AQ
因为3=AH:AM+AG:AM=AB:AP+AC:AQ
所以AB:AP+AC:AQ=3

Answer 2

重心 你可以画一条过M且与BC平行的直线 则AB/AP=AC/AQ=3/2 再作直线AM 由图易得