Question

数学 1.一直在半径为2的球面上有A,B,C,D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为多少？

拜托最好能画下图！解释的详细一点！

Answer 1

记AC、AD、BD、BC的中点为P、Q、M、N，则PQMN为菱形，边长为1
且其面积为S=PQ×PN×sinα=sinα，α为异面直线AB和CD之间夹角。

设异面直线AB和CD的距离为H，则V(ABCD)=(2/3)×S×H=(2/3)×H×sinα.

设球心为O，AB、CD的中点为E、F，则根据题意条件OA=AB=OB=2，以及OC=CD=OD=2，可知OE=OF=√3，

若E、O、F三点不共线，H≤OE+OF=2√3
若E、O、F三点共线，OE⊥AB，OF⊥CD，即EF是异面直线AB和CD之公垂线，即H有最大值2√3

当AB⊥CD时，sinα有最大值1

所以V(ABCD)max=(4/3)√3
不好意思，我才一级，传不了图！