Question

已知向量OA=a=(cosα,sinα),向量OB=b=(2cosβ,2sinβ),向量OC=c=(0,2),其中O为坐标原点。。。。

已知向量OA=a=(cosα,sinα),向量OB=b=(2cosβ,2sinβ),向量OC=c=(0,2),其中O为坐标原点，且0<α<π/2<β<π。
（1）若a⊥(b-a),求β-α的值
（2）若向量OB·向量OC=2，向量OA·向量OC=根号3，求△OAB的面积S

Answer 1

解：（1）a*(b-a)=0
所以cosα*（2cosβ-cosα）+sinα*（2sinβ-sinα）=0
即2cos(β-α)-1=0
解得cos(β-α)=1/2
因为0<α<π/2<β<π
所以β-α=π/3
(2)因为OB·OC=2，OA·OC=根号3
所以4sinβ=2,2sinα=根号3
所以α=π/3，β=5π/6
所以OA=（1/2,根号3/2),OB=(-根号3,1)
所以|OA|=1，|OB|=2
所以S△OAB=|OA|*|OB|*sin(β-α)/2=1

Answer 2

1、b-a=(2cosβ-cosa,2sinβ-sina)
因为a⊥(b-a)所以 向量a与向量b相乘等于0
a*(b-a)=2cosβcosa-(cosa)^2+2sinβsina-(sina)^2=0
2cosβcosa+2sinβsina=1
cos(β-a)=0.5 由已知条件得β-a属于（0，π）所以β-a=π/3
2、由若向量OB·向量OC=2，4sinβ=2,sinβ=0.5,β=5π/6
向量OA·向量OC=根号3,2sina=根号3,sina=根号3/2,a=π/3
OB=2,OA=1,AB=根号5，所以是直角三角形，所以S=0.5*1*2=1