Question

[求助]数学分段函数问题

已知函数f(x)...(如图)，若方程f(x)=x有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是？
题目没有错，你的做法好像不太对。。。f(x)=f(x-1)(x>0)
x属于R f(3)=1-a不错，但f(3.5)≠1-a

Answer 1

这种问题可以采用数形结合的方法。首先，根据f(x)的解析式研究一下其性质f(x)=f(x-1)(x>0)，

即f(x+1)=f(x)(x>-1),这说明x>-1时，f(x)具有周期性。这样你很容易画出f(x)的图像，我附了a=0时的图像。f(x)=x有且只有两个不相等的实数根等价于f(x)与y=x的图像有两个交点。当然也可以如下进行讨论。

a<1时，x<=0时，f(x)>0，f(x)=x没有负根，故全位于正半轴。只需满足1-a<=n<=2-a（n为正整数）就行，即1-n<=a<=2-n。

a>=1时，f(x)=x仅有一个负根。则需满足2-a>=n,n=<1-a<=n+1(等号你自己具体讨论吧，哈……因为也把我弄迷糊了。）

Answer 2

当x>0时，f(x)=f(0)=1-a。
若1-a>0，即a<1时：在(0,+∝)上一定存在一个根且只有这一个：1-a。
再考虑(-∝,o]上：2^(-x)一定是正的。研究图像：2^(-x)在(-∝,o]上的最小值为1（x=0时)
研究图像可知：此时1-a>0。无交点。所以不满足条件。
若1-a<0：则(-∝,o]上有一个交点。而(0,+∝)上无交点。
若1-a=0：则交点在（0,0）点。只有一个。
这题没错？怎么画图像都画不出来啊。

补充：f(n)=f(n-1)=...=f(3)=f(2)=f(1)=f(0)=1-a啊