Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,AB=1/3AD＝3，sin∠ADC=√5／5，PA⊥平面ABCD，且PA＝

如图（在直角梯形ABCD外有一点P，连结PA，PB，PC，PD，AD上有一动点F，连接PF，CF）,在梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=∏／2,AB=1/3AD＝3，sin∠ADC=√5／5，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．
1）求直线AD到平面PBC的距离
2）求直线PD与平面PBC所成的角
3）已知F是线段AD上的动点，若二面角C－PF－A的正切值是√5，求AF

Answer 1

1)因为ad//bc，所以ad//平面abcd

过a做am垂直于pb，

因为am⊥pb am⊥bc

所以am垂直于pbc

所以am即为AD到平面PBC的距离

am=3√2/2

2) 过d点作dr//ab ，ds//pa ，连接rs，

过d作dt⊥rs,那么dt垂直于pbc：  注意平面pbc和pab垂直；

所求角度即为：∠dpt

先计算：pd=3根号10

dt=3根号2/2

那么：sin∠dpt=dt/pd=根号5/10

所以：∠dpt=arcsin根号5/10 

3)  观察题目类型，有三个互相垂直的面，可以作为xyz轴，

而且各个点的坐标容易计算，故采用向量求解：

设ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴：

那么

a点的坐标(0,0,0)

f点的坐标(0,x,0)

c点的坐标（3,3,0）

p点的坐标（0，0，3）

先求apf的法向量：n1=ap×af=（3x,0,0）

再求pfc的法向量：n2=pf×pc=（9-3x,9,-3x）

按照两向量夹角余弦公式有

cosθ=|3-x|/(根号下（x-3）^2+9+x^2)  ……  ①  

根据题意：tanθ=根号5

那么cosθ=1/根号6 ……  ②  

联立①、②：

并进行化简： 

(2x-3)(x-6)=0

所以AF=1.5 或者  AF=6

祝你新年快乐,全家幸福~