Question

求教1道数学题 高中解析几何

如图椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为B C 。A是椭圆上一点，AH⊥BC，垂足是H，向量BH=3向量HC

D在椭圆上，向量AD=α向量DB，当-5≤α≤-7/2时，求离心率e的取值范围

Answer 1

首先B(-c,0)C(c,0).由向量BH=3向量HC，可以推出，H(c/2,0),所以A的横坐标Xa=c/2.
然后作出椭圆的左准线L,准线的方程为X=-a^2/c
作AA'和DD'和BB'垂直于L，由四边形的相似易知，AD：DB=AA'：BB'
再由向量AD=α向量DB，结合AD：DB=AA'：BB'可知AA'：BB'=-α
(c/2+a^2/c)：(-c+a^2/c)=-α,左边上下同时除以a^2以后，整理后得，e^2=(2α+2)/(2α-1)
将-5≤α≤-7/2代入后整理可得，5/8<=e^2<=8/11,√10/4≤e≤2√22/11

Answer 2

用极坐标法

Answer 3

列出由向量AD=α向量DB得的关于a b c方程。就按常规联立，最后将α代入

Answer 4

答案：(根号2)/2=<e=<(根号3)/3 解析：过点A和点D分别做准线的垂线AM,DN，过D做AM的垂线DP.由A(c/2,0)得AB=e(c/2+a^2/c)=ce/2+a另一方面，由AD=tDB得AB=-(t+1)BD（模的关系）.由椭圆的第二定义有AM=-(t+1)BD/e,DN=BD/e.因此，AP=-(t+2)BD/e.所以cosABC=BH/AB=cosBAM带入，整理得2cet=2ec+2at+4a至此，t=(2ec+4a)/(2ec-2a)代入-5=<t=<-7/2解此不等式（注意2ec-2a<0)即可