Question

设O为三角形ABC内一点，且满足向量OA+两倍的向量OB+三倍的向量OC=0，求三角形ABC与AOC的面积比。解题过程

急等，加分

Answer 1

解:设∠AOC=Φ1,∠BOC=Φ2
由OA+2向量OB+3向量OC=0可知,OA和2倍OB的合向量与3倍OC向量等值反方向
根据平行四边形法则作向量OA,2倍OB的和是向量OC'
在△AOC'中,根据正弦定理
|OA|/sin(PAI-Φ2)=2|OB|/sin(PAI-Φ1)=|OC'|/sin[PAI-(PAI-Φ2)-(PAI-Φ1)]
|OA|/sinΦ2=2|OB|/sinΦ1=-|OC'|/sin(Φ2+Φ1)
|OA|/sinΦ2=|OB|/[(1/2)sinΦ1]=|OC|/[-(1/3)sin(Φ2+Φ1)].............①
∴S△ABC:S△AOC=(S△AOB+S△BOC+S△AOC):S△AOC
=[|OA|*|OB|sin(Φ2+Φ1)/2+|OB|*|OC|sinΦ2/2+S△AOC]:(|OA|*|OC|sinΦ1/2)
=|[(|OB|sin(Φ2+Φ1)/2):(|OC|sinΦ1/2)]|+|[(|OB|sinΦ2/2):(|OA|sinΦ1/2)]|+1..........................................................②
将①中求得的|OB|:|OC|和|OB|:|OA|代入②中,可求得
S△ABC:S△AOC=|-3/2|+1/2+1=3(面积比不能是负数,要求绝对值)

Answer 2

过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，因为AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，对角线OD=OA+AD=OA+OE=OA+2OB=-3OC，所以三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，因为AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，所以三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，因为AF：FB=2：1，所以三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X，故两三角形面积之比为3：1