Question

若二次函数 f（x）＝ax＾2－4x+c的值域为【0，正无穷），则a/（c＾2+4）+c/（a＾2+4）的最小值是多少？

若二次函数 f（x）＝ax＾2－4x+c的值域为【0，正无穷），则a/（c＾2+4）+c/（a＾2+4）的最小值是多少？

Answer 1

若二次函数 f（x）＝ax＾2－4x+c的值域为【0，正无穷），则函数曲线凹向上。a>0，曲线与X轴只有一个交点。b^2-4ac=0，ac=4, c>0
a/（c＾2+4）+c/（a＾2+4）
=[a(a＾2+4)+c(c^2+4)]/[(c^2+4)(a^2+4)]
=[a^3+4a+c^3+4c]/[a^2c^2+4a^2+4c^2+16]
=[a^3+a^2c+c^3+ac^2]/[4a^2+4c^2+8ac]
=[(a+c)^3-2a^2c-2ac^2]/4(a+c)^2
=(a+c)/4-2/(a+c)
由于a+c=>2√ac
所以(a+c)/4-2/(a+c) =>√ac/2-1/√ac=1-1/2=1/2
最小值为1/2