Question

高中数学函数题目

21.证明：1+1/根号2+1/根号3+1/根号4+*******+1/根号n>ln(1+n)(n为正整数)

Answer 1

利用不等式x>ln(1+x)
因为
S=1+1/√2+1/√3+1/√4+*******+1/√n
>1+1/2+1/3+.... 1/n
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)
=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)
=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)
=ln(1+n)
可知1+1/√2+1/√3+1/√4+*******+1/√n>ln(1+n),

Answer 2

证明：∵ln（1+n）=ln【（1+n）／n】+ln【n／（n-1）】+ln【（n-1）／（n-2）】+……+ln（2／1）
∴要证原不等式成立，只需证ln【（1+n）／n】＜1／√n（根号n分之1）。
令x=1／√n则x∈（0,1】，即证ln(1+x*2)＜x，x∈（0,1】
令f(x)=ln(1+x*2)-x, 则f'(x)=2x／(1+x*2) -1=-(x-1)*2／(1+x*2)≤0(当且仅当x=1，即n=1时取“=”）
∴x∈（0,1】时，f（x）＜f（0）=ln（1）-0=0. 即ln（1+x*2）＜x在x∈（0,1】时恒成立。
∴原不等式成立。