Question

已知关于x的函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx+1,其导函数为f'(x).

(1)如果函数f(x)在x=1处有极值-2/3，试确定a,b的值；
(2)如果函数f(x)在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，是否存在是实数a，使得方程f '(x)-x=0是两个根x1,x2满足0<x1<x2<1?若存在。求出实数a的取值范围；如不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)f'(x)=x²+ax+b
∵f'(1)=1+a+b=0
f(1)=1/3+a/2+b+1=-2/3
∴a=2,b=-3
(2)f'(-1)=1-a+b=1 → b=a
f '(x)-x=0 → x²+(a-1)x+a=0
∵要满足条件,则△=a²-6a+1>0
0<x1*x2<1
x1+x2>0
∴a∈(0,3-2√2)