Question

数学题 第二步

第二步第二步！
已知函数f（x）=（x+1）Inx-x+1.
(Ⅰ)若 （x）≤ +ax+1，求a的取值范围；
(Ⅱ)证明：（x-1）f(x)≥0
这是答案
一楼的 第二步我不理解··

Answer 1

对第二步答案的解释：因为g(x)=lnx-x,
由（1）知g(x)≤-1，所以g(x)+1≤0,
即：lnx-x+1≤0 (x>0).
f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1
=xlnx+(lnx-x+1)=xlnx+[g(x)+1]
当0<x<1时，
xlnx<0,
又[g(x)+1] ≤0，
所以f(x)<0,(答案中不应有等号)
又x-1<0
所以(x-1)f(x)>0；
当x>1时，
xlnx>0,
f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1
= lnx +( xlnx -x+1)=lnx+x(lnx+1/x -1)
= lnx-x(-lnx- 1/x+1)
= lnx-x(lnx^-1/x+1) 注意：x的指数是-1
= lnx-x(ln 1/x- 1/x+1)
因为x>1，
所以0<1/x <1,
令 1/x=t,
则g（t）+1= ln1/x - 1/x+1 ≤0 (0<t<1),
也就是ln 1/x- 1/x+1≤0，
又lnx>0,
所以f(x)=lnx-x(ln 1/x- 1/x+1)>0,
又x-1>0,
所以(x-1)f(x)>0；
当x=1时，
显然有(x-1)f(x)=0；
综合上述三种情况： (x-1)f(x)≥0成立.

Answer 2

when x>=1,0<1/x<=1
then ln(1/x)-(1/x)+1<=0
and lnx>=0(for x>=1)
thus f(x)=lnx-x[ln(1/x)-(1/x)+1]>=0