Question

高中复数题一道

复平面内A,B两点分别对应1和i，复数z在线段AB上移动，求z^2对应的点的轨迹。

Answer 1

A(1,0),B(0,1),
线段AB的方程为x+y=1(x>0,y>0).
设复数z对应点M(u,v),则u+v=1(1>u>0,1>v>0).
z=u+vi,
z^2=u^2-v^2+2uvi,
设z^2对应负数x+yi,
则x=u^2-v^2=(u+v)(u-v)，y=2uv,
∵ u+v=1，
∴x= u-v, y=2uv,
因为(u-v)^2+4uv=(u+v)^2,将上式代入得：
X^2+2y=1,
∵1>u>0,1>v>0,∴y=2uv>0.
z^2对应的点的轨迹方程是x^2+2y=1( y>0),是抛物线的一部分。

Answer 2

z=a+bi, a=b.
w=z+1/z=(a+ai)+(a-ai)/(a^2+a^2)=a+ai+1/[2a]-1/[2a]i=x+yi
x=a+1/[2a],y=a-1/[2a],a=(x+y)/2, 1/a=x-y
所以(x+y)/2*(x-y)=1, x^2-y^2=2
因为a>0(已知复数z对应的点在第一象限的角平分线上)，所以x+y>0, x-y>0.
因此方程为x^2-y^2=2,此为双曲线在x>0的一支。