Question

已知圆C1:x^2+y^2+2x+2y-8=0与圆C2：x^2+y^2-2x+10y-24=0相交于A,B两点。 求（1）公共弦AB所在的直线方程

（2）求圆心在直线y=-x上，且经过A,B两点的圆的方程
（3）经过A,B两点且面积最小的圆的方程

Answer 1

(1)
C1:x^2+y^2+2x+2y-8=0
C2：x^2+y^2-2x+10y-24=0
因为A、B是C1、C2的公共点，所以
C1-C2就得到公共弦AB的直线方程
x-2y+4=0
(2)将上式代入C1，解得 y1=0,y2=2
对应的有： x1=-4,x2=0
所以A、B两点的坐标是 A(-4,0)、B(0,2)
AB的中点是 (-2,1)，AB的斜率是 (2-0)/(0-(-4))=1/2所以AB的垂直平方线的斜率是：
-1/(1/2)=-2
其直线方程是 y-1=-2(x+2)
联立它与y=-x解得其交点M的坐标是 x=-3，y=3
MB的距离是 √((-3-0)^2+(3-2))=√10
所以其圆的方程是 (x+3)^2+(y-3)^2=10
(3)
经过A、B两点面积最小的圆肯定是以AB为直径的圆，其方程是：
因为其中点是(-2,1)，半径=AB/2=√(4^2+2^2)/2=√5
(x+2)^2+(y-1)^2=5

Answer 2

解：1） 圆C2-圆C1得 2y-x-4=0
2）由直线方程与圆的方程解得 A,B坐标为 （0,2） （-4,0）
AB中点坐标为 C（-2，1）
圆心和中点C的连线与AB垂直
所以圆心和中点C的连线的方程为 y=-2（x+2）+1=-2x-3
圆心在直线y=-x上 所以圆心坐标为 （-3,3）
圆的半径为 r=√（9+1）=√10
圆的方程为 （x+3）²+（y-3）²+10
3） 设圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r²
经过A,B则有 a²+（2-b）²=r².............1
（a+4）²+b²=r²............2
由圆的面积最小，即r最小
2-1得 2a+b+3=0
r²=（a+4）²+（2a+3）²
=5（a+2）²+5
当a=-2时 r² =5 b=-2a-3=1
圆的方程为 （x+2）²+（y-1）²=5

Answer 3

1)y=2