Question

16. 如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆

16. 如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上 .①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形DEFG的面积为100，且ΔABC的内切圆半径 =4，则半圆的直径AB = __________ .以及过程
过程详细的可以追加分数
《杭州09年中考卷》

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心；正方形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心．
分析：①根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为 a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；
②连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程求解即可．
解答：解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，
H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为 a，正方形边长为2a，
所以半圆的半径与正方形边长的比是 a：2a=：2；

②连接OI、OJ，可得OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2；
∴8（x+y）+32=2xy，
在直角三角形AEB中，可以证得△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．
∴正方形DEFG的面积为：100，
故答案为：①：2，②100．
点评：此题主要考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题．

Answer 2

解：
第一个为（根号5）：2（这个比较简单，不用说了）
第二个；
设AD=x，BD=y
则xy=100，AC=x+4，BC=y+4
所以
(x+y)²=(x+4)²+(y+4)²
整理得：
8x+8y+32=2xy
8x+8y=200-32
8(x+y)=168
x+y=21
即：AB=21

Answer 3

（1） 注意到点D,G是关于大圆的圆心对称的，设圆心为O1,则O1G=O1D,= FG,连E O1,故由勾股定理可求出半径,得两者之比为 .(2)设AD=x，BD=y,则△AED与△EBD相似,可得ED2=AD×DB,即是xy=100，AC=x+4，BC=y+4所以(x+y)²=(x+4)²+(y+4)²整理得：8x+8y+32=2xy8x+8y=200-328(x+y)=168x+y=21即：AB=21

Answer 4

①√5：2②21 希望你能采纳我的答案 谢谢