Question

急~圆锥曲线：双曲线 的题

已知双曲线中心在原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为L1,L2，经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1L2于A,B两点，已知向量OA的绝对值，向量AB的绝对值，向量OB的绝对值 成等差数列，且向量BF与向量AF同向.

求 1）双曲线的离心率；
2）设AB被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线的方程。

详细过程~
改成向量OA的模，向量AB的模，向量OB的模

Answer 1

首先我纠正一下，向量是没有绝对值的，那是向量OA的模，换句话说也就是OA的长度。
设双曲线的方程为X2 /a2 - Y2 /b2 =1 ，画出草图，容易得到OA =a ,AF =b ,OF =c (这个可以证明的，不过也可以直接拿来用，在这我就不证明了)。因为 △AOB 是直角三角形，并且OA ,AB ,OB 成等差数列，且OA =a ,可以得到 AB = 4/3 a OB =5/3 a (由 OB方 = OA方 + AB方 以及 OA+OB=2AB 得)。 双曲线的两个渐近线方程为 Y= ±b/a X。将 BF直线与L2 直线联立得到B的坐标 B[a2c/(a2-b2), -abc/(a2-b2)]. 所以向量OB= [a2c/(a2-b2), -abc/(a2-b2)]. 又因为向量OB的模为 5/3 a 。所以能得到 a2 =4b2 或者 b2 =4a2 。所以离心率e =根号5 或者 根号5 除以2 。（计算可能复杂点）
第二问 AB=4 就得到 4/3 a = 4 得 a=3 。。其余b和c就容易求了，自己算吧

Answer 2

Look

Answer 3

2楼正解