Question

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a不等于0，二次函数g（x）=ax²-x的定义域是R，函数y=g（x-4）为偶函数，函数f（x）=ax²+x的定义域是[m，n]（m＜n）
问:是否存在实数m、n，使函数f（x）的值域为[3m，3n]？如果存在求出m ，n的值。不存在说明理由

Answer 1

g(x)=ax^2-x
g(x-4)=a(x-4)^2-(x-4)
=ax^2-(8a+1)x+16a+4
因为它是偶函数，所以一次项系数为0
即8a+1=0
a=-1/8
所以 f(x)=-1/8 x^2+x=-1/8(x-4)^2+2
如果存在 x使得f(x)=3x，则
-1/8 x^2+x=3x
解得 x1=-16,x2=0
那么 m=-16，n=0，就符条件。
因为 f(x)在R上有最大值2，而没有最小值 ，所以，也可能存在的这样的[m,n]，使得 最大值不是 f(n)，而是 f(4)=2，是否存在呢？我们知道 假如能取到最大值，那么 n>=4，而如果n>=4，则3n>=12>2，大于f(x)的最大值，所以 定义域是[m,n]的值域[3m,3n]只能在曲线的端点取得。
综上所述，m=-16，n=0

Answer 2

y=g（x-4)=a(x-4)²-(x-4)=ax²-(8a+1)x+16a+4，偶函数a=-1/8，f（x）=-1/8x²+x.
1)若n<4时，f（m）=-1/8m²+m=3m,f（n）=-1/8n²+n=3n,m＜n,解得m=-16，n=0
2)若m<4<n,(m+n)/2<4时，f（m）=-1/8m²+m=3m，f（4)=3n=2,n=2/3不存在
3）若m<4<n,(m+n)/2>4时,f（n）=-1/8n²+n=3m,f（4)=3n=2,n=2/3不存在
4)若4<m<n时，f（m）=-1/8m²+m=3n,f（n）=-1/8n²+n=3m,解得m,n不存在。
所以m=-16，n=0