Question

高二简单数学题！

如图，从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，|F1A|=根号10+根号5，求椭圆的方程

Answer 1

由题意：点P⊥x轴，且垂足是左焦点F1 ，设点P(-c,y)
∵点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上
∴a^2y^2=a^2b^2 - b^2c^2
y=(b/a)√(a^2-c^2)
∵c^2=a^2-b^2
∴y=b^2/a , 即：点P的坐标是(-c,b^2/a)
则：kOP=-b^2/ac
∵点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点
∴kAB=-b/a
∵AB//OP
∴kOP = kAB ， 解得：b=c
∵c^2=a^2-b^2
∴2c^2=a^2
∵|F1A|=a+c=√10+√5
∴可解得：a^2=10 ， b^2=5
椭圆的方程：x^2/10 + y^2/5 =1

Answer 2

设P（-c,y0)
kab=kpo ∴b/a=y0/c 有2(c/a)^2=1 解得c/a=根号2/2
又a+c=根号10+根号5
∴c=根号5
a=根号10
b=根号5
所以椭圆为x^2/10+y^2/5=1