Question

求解高中数学题，急

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2√5/5，且A（0,1）是椭圆C的顶点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。

Answer 1

椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为2√5/5，且A（0,1）是椭圆C的顶点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且
过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。
解:(1)A(0, 1)是椭圆的顶点,故b=1
由e=c/a=2√5/5,得e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=(a²-1)/a²=2/5
于是有 5(a²-1)=2a²,故a²=5/3,故椭圆方程为 x²/(5/3)+y²=1,即 3x²/5+y²=1.
半焦距c=[√(5/3)](2√5/5)=2/√3=2√3/3.
(2) 设双曲线E的方程为 x²/a²-y²/b²=1...............(1)
已知c=2(√3)/3, F₁(-2√3/3, 0), F₂(2√3/3, 0)
直线L的方程: y=x+1..........................................(2)
M在L上,为使双曲线E的实轴最长,M的位置应使:
│MF₂│-│MF₁│获得最大值,显然,当F₁,M, F₂三点都在x轴上时该值最大,
此时M的坐标为(-1,0), │MF₂│-│MF₁│=(2√3/3+1)-(-1+2√3/3)=2=2a
故最大的a=1,于是得b²=c²-a²=[2(√3)/3]²-1=4/3-1=1/3.这时E的方程为:
x²-3y²=1.

Answer 2

第一问不解决了，y²/6 - x²/2=1
主要是第二问
因为M在双曲线E上,所以要使双曲线E的实轴最长,
只需最大.
在直线AB上找一点M，使得||MC1|-|MC2||的值最大嘛
将下焦点C2关于AB对称得D
C1D与AB的交点即为所求M
得到a最长为6
另解:直接设点M（t,-t-2），代入所设双曲线方程，使得关于t的二次方程有解。
得判别式大于等于0，解得：a^2<=6或a^2>=8（舍去）（因a^2）+b^2=8)
a^2=6时可求出t=1

Answer 3

解:(1)A(0, 1)是椭圆的顶点,故b=1 由e=c/a=2√5/5,得e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=(a²-1)/a²=4/5 于是有 5(a²-1)=4a²,故a²=5故椭圆方程为 x²/5+y²=1, 半焦距c=2.
(2) 设双曲线E的方程为 x²/a²-y²/b²=1..............
.(1) 已知c=2 F₁(-2, 0), F₂(2, 0) 则设双曲线的方程为x²/m-y²/(4-m)=1,过直线L的方程: y=x+1，则有x²/m-（x+1）²/(4-m)=1,要使方程有解必须△≥0,解得m≤5/2或m≥4(舍去)
m的最大值为5/2，即实轴最长为√10，此时双曲线的方程为2x²/5-2y²/3=1；与直线y=x+1交点坐标为：(-5/2，-3/2)