Question

一道高中数学题，求解，急

已知函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,
（1）当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)区间【1,e】上的最小值。

Answer 1

已知函数f(x)=x²-(2a+1)x+alnx,
（1）当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)区间【1,e】上的最小值。
解:(1)a=1时,f(x)=x²-3x+lnx, (x>0)
f′(x)=2x-3+1/x=(2x²-3x+1)/x=2(x-1/2)(x-1)/x
当0<x<1/2或x>1时,f′(x)>0,即在区间(0, 1/2)和(1, +∞)内函数f(x)单调增.
当1/2<x<1时,f′(x)<0,故在区间(-1/2, 1)内函数f(x)单调减.
(2).f(x)=x²-(2a+1)x+alnx
f′=2x-(2a+1)+a/x=[2x²-(2a+1)x+a]/x=(2x-1)(x-a)/x=2(x-1/2)(x-a)/x
当a<0时,(1/2, +∞)是单增区间,[1, e]⊂(1/2, +∞),故函数在区间[1,e]上的
最小值为f(1)=1-(2a+1)=-2a.
当0<a<1/2时,(1/2, +∞)仍是单增区间,结论同上.
当a>1/2时,(a +∞)是单增区间,此时若1/2<a<1,则minf(x)=f(a)=a²-(2a+1)a+alna
= -a²-(1+lna)a; 若a≥1,则minf(x)=f(1)=-2a.

Answer 2

求导不就是了吗，。。。。嗯

Answer 3

当a=1时,f(x)=x^2-3x+lnx; f‘(x)=2x-3+1/x，令它等于0，求得x＝1／2或x＝1；
用导数的符号可判断得到，函数在（0，1／2）∪（1，＋∞）上为单调递增；在（1／2，1）为单调递减；
同样可得，若a＞1／2时，函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,在（0，1／2）∪（a，＋∞）上为单调递增；在（0．5，a）为单调递减；
当a≤1则f（1）为最小值．当1＜a＜e则f（a）为最小值．a＞e则f（e）为最小值．
若0＜a＜1／2时，函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,在（0，a）∪（1／2，＋∞）上为单调递增；在（a，1／2）为单调递减；则f（1）为最小值．
若a≤0，则函数函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,在f（1）为最小值．