Question

求解一道数学题，急

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an,(n属于正整数）[n为下标]
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式（Tn-2)/(2n-1)>2010的最小n值。
能做多少算多少，谢谢各位高人。

Answer 1

（1）
因为Sn = 2An - n
所以通项公式：An = Sn - S(n-1) = 2An - n - 2A(n-1) + n - 1 = 2An - 2A(n-1) - 1
所以An = 2A(n-1) - 1。
又因为A(1) = S(1) = 2A(1) - 1，所以A1 = 1，
因此An = 2^n-1
这就是数列{an}的通项公式。
新数列的An = an+1 = 2a(n-1)，所以是一个以2为公比的等比数列。

[2]
an带入bn得到：
Bn = N*2^(N+1) + 2^N
先求左边的，假设m(n) = N*2^(N+1) ，前n项和是M(n)
Mn = 2*Mn - Mn
= 求和(n*2^(n+2)) - 求和(n*2^(n+1))
【这时会发现其实就是2Mn的最后一项减去一个大等比数列】
= n*2^(n+2) - 2^(n+2) + 4
= (n-1) * 2^(n+2) + 4

再求刚才右边的2^n，等比数列求和，很好求。
Bn的两边都解决完了，
所以
Tn = (n-1) * 2^(n+2) + 4 + 2^(n+1) - 2
= (2n-1)2^(n+1) + 2

所以(Tn-2)/(2n-1)实际上就是2^(n+1)
枚举都可以了，2,4,8,...,1024,2048
2^11的时候刚好>2010，所以n的最小值是10.

Answer 2

Sn+n=2an
S(n-1)+n-1=2a(n-1)
Sn-S(n-1)+n-(n-1)=2an-2a(n-1)
an+1=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)+1
an+1=2a(n-1)+2=2(a(n-1)+1)
(an+1)/(a(n-1)+1)=2
所以数列{an+1}为等比数列
S1+1=2a1
a1+1=2a1
a1=1
a1+1=1+1=2
an+1=(a1+1)q^(n-1)
=2*2^(n-1)=2^n
an=2^n-1

bn=(2n+1)(2^n-1)+2n+1
=(2n+1)2^n-(2n+1)+2n+1
=(2n+1)2^n
=2n*2^n+2^n
=n*2^(n+1)+2^n
唉，Tn解错了，实在不好意思了。

Answer 3

答得好