Question

函数及其导数问题 函数f(x)=-x^3+ax^2-4（a∈R）f′（x）是其导函数

函数f(x)=-x^3+ax^2-4（a∈R）
1、当a=2时，对任意的m∈[-1,1],n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值
2、若存在x0∈（0，+∞），是f（x0)>0,求a的取值范围

Answer 1

（1）f(m)=-m³+2m²-4，f’(n)=-3n²+4n。
对f(m)求导得到f’(m)=-3m²+4m。当m∈[-1,0]时f’(m)<0，因此f(m)在[-1,0]上递减；当m∈[0,1]时f’(m)>0，因此f(m)在[0,1]上递增。这样可知当m=0时f(m)取最小值-4。
另一方面，f’(n)=-3n²+4n=-3(n-2/3)²+4/9，易知当n=-1时取最小值-7。
因此，当m=0；n=-1时，f(m)+f’(n)最小，最小值为-11。
（2）由于f(0)是定值-4<0，且f’(x)=-3x²+2ax。因此要分以下两种情况讨论。
1°a<0，这样当x>0时，f’(x)<0均成立，因此函数在[0,+ ∞)上递减，而f(0)=-4<0，因此f(x)在[0,+ ∞)上全都小于0，不符合题意。
2°a≥0，可知当x∈(0，2a/3]时f’(x)>0函数递增，当x∈[2a/3，+∞)时f’(x)<0，函数递减。
这样，在(0,+ ∞)上，当x=2a/3时取得最大值。因为存在x0使得f(x0)>0，因此f(2a/3)必须大于0，否则不可能有其他的函数值会大于0了，它是最大的。
即-(2a/3)³+2(2a/3)²-4>0，-2a³+6a²-27>0即2a³-6a²+27<0，然而当a>0时，2a³-6a²+27>0恒成立，因此，矛盾。
综上所述，a无解，即a∈Φ