Question

函数单调性与奇偶性的综合应用

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数。若方程f(x)=m(m＞0)，在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1+x2+x3+x4=( )

有详细的解题过程，谢谢

Answer 1

令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f（t+2-4）=-f（t+2）
即f（t-2）=-f（t+2）
又f（x）是奇函数 f（t-2）=-f（2-t）
所以 -f（t+2）=-f（2-t） 即 f（2+t）=f（2-t）（1）式
即直线x=2是f（x）对称轴

接下来画图就可以说明 显然奇函数f（0）=0
也可简单算得 f（-4）=-f（0）=0 f（x）以8为周期 f（-8）=0
f（4）=0 f（8）=0
画图 先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f（0）=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f（x）是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段

画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m（m>0）与f（x）的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间（-8，-4）关于x=-6对称 另外两个在区间（0，4）关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*（-6）+2*2=-8

参考以下:
f（x）为奇函数，f（0）=0，
f（x-4）=-f（x），f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x），所以f（x）是周期为8的函数，f（8）=0。
在区间【0，2】上是增函数，那么在此区间f(x)>0，根据f（x-4）=-f（x），
在区间【4，8】f(x)<0。

f（x-4）=-f（x），f（x）为奇函数，那么f(x)=f(4-x).

f(x)=m在区间【-8，8】上有4个不同的根,设两个正根x1，4-x1，那么两个负根根据周期8为x1-8，4-x1-8。则x1+x2+x3+x4=-8。