Question

设双曲线C的方程为x^2/4-y^2=1,支线L的方程是y=kx+1在下列情况下，分别讨论k的范围 直线L与双曲线C（1）有

Answer 1

解：将两方程联立，
x^2/4-y^2=1
y=kx+1
得：
（1-2k^2）x^2-4kx-6=0
i) 当2k^2=1,即k=±(根号2) / 2时，原方程化为-4kx=6,x=-3/2k，只有一个解，即双曲线与直线仅一个交点
ii) 当2k^2≠1时,△=16k^2+24(1-2k^2)=24-32k^2
若24-32k^2=0，即k=±(根号3) / 2，△=0，只有一个解，即双曲线与直线仅一个交点
若24-32k^2>0，即 -(根号3) / 2<k<(根号3) / 2 且k≠±(根号2) / 2 ，△>0，有2个解，即双曲线与直线2个交点
若24-32k^2<0，即 k<-(根号3) / 2或k>(根号3) / 2 ，△<0，有0个解，即双曲线与直线没有交点
综上，
k∈{ (根号2) / 2，-(根号2) / 2，-(根号3) / 2，(根号3) / 2 }时，一个交点
k∈（-∞，-(根号3) / 2）∪（(根号3) / 2，+∞）时，没有交点
k∈（-(根号3) / 2，-(根号2) / 2）∪（-(根号2) / 2，（根号2) / 2 ）∪（（根号2) / 2，(根号3) / 2 ）时，2个交点