Question

高手进！ 高二上数学 曲线问题 急。。。

○F过定点A(a,0),a＞0,圆心F在抛物线C:y²=2ax上运动，MN为○F在y轴上截得的弦
①试判断MN的长是否随着圆心的运动而变化？并证明你的结论。
②当OA是OM 与ON的等差中项时（指的是长度），抛物线C的准线与○F有怎样的位置关系？并说明理由
求详解！谢谢!

Answer 1

1）假设圆F的圆心坐标为（x0,y0）
则y0^2=2ax0
那么圆F的半径等于r=根号下（（x0-a）^2+y0^2）=根号下（x0^2+a^2）
过圆心做y轴的垂线；根据勾股定理以及等腰三角形的性质：
则MN=2根号下（r^2-y0^2）=2a
所以MN的长是固定的，与圆心的运动无关；
2）根据题意：当OA是OM 与ON的等差中项时（指的是长度），
OM+ON=2OA=2a=MN
所以mn只能分布在y轴的两侧；
现在分析o与m或n重合时的情况；
此时圆f经过原点，此时x0=a/2
因此只要0<x<=a/2 就能保证mn在y轴的两侧；

那么圆心到准线的距离d1=x0+a/2
现在比较d1和r的大小
d1^2-r^2=x0a-3a^2/4=a(x0-3a/4)
因为a>0 以及0<x<=a/2：
所以d1^2-r^2<0
圆f与准线相交

祝你新年快乐,全家幸福~