Question

已知函数f(x)=x的立方-3ax的平方+3x+1，设a=2,求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3x+1
（1）设a=2，求f(x)的单调区间；
（2)设f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围
⑴a=2，f'(x)=3x^2-12x+3=3(x^2-4x+1)=3[(x-2)^2-3]=3(x-2-√3)(x-2+√3)
列表
x (-∞,2-√3) 2-√3 (2-√3,2+√3) 2+√3 (2+√3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ 极大 ↓ 极小 ↑
所以函数f(x)的递增区间是(-∞,2-√3)，(2+√3,+∞)
递减区间是(2-√3,2+√3)
⑵f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)
首先3(x^2-2ax+1)=0有两个不同的实数根△=4a^2-4>0,得a>1或a<-1
方程3(x^2-2ax+1)=0的根x1=[2a+√（4a^2-4）]/2=a+√（a^2-1），x2=[2a-√（4a^2-4）]/2=a-√（a^2-1），
解2<x1<3,或2<x2<3得a的取值范围
解2<x1<3得5/4<a<5/3，解2<x2<3得空集
所以a的取值范围 5/4<a<5/3

Answer 2

楼上第二问，做的有点麻烦了，高中数学做题其实一般用不着用求根公式的，出题者也不会考。。

f'(x)=3x^2-6ax+3,为使f(x)在(2,3)内至少有一极值点，则f'(x)在此间内有零点，且△>=0

综上有：f'(2)*f'(3)<0(异号)，且36a^2-36>=0
整理有5/4<a<5/3,且a>1或a<-1
综上5/4<a<50;
4/5<a<6/7