Question

已知三角形abc,分别以ab,bc,ca为边向外做等边三角形abd,等边三角形bce等边三角形acf,且角acb=60度，

求证s三角形abc+s三角形abd=s三角形bce+s三角形acf

Answer 1

Sabc=1/2*bc*ac*sin60
Sabd==1/2*ab*ab*sin60
Sacf=1/2*ac*ac*sin60
Sbce==1/2*bc*bc*sin60
设：s三角形abc+s三角形abd=s三角形bce+s三角形acf等式成立
则将以上等式代入该假设并化简，得到等式：
bc*ac+ab*ab=ac*ac*+bc*bc
bc*ac+ab^2=ac^2+bc^2
2bc*ac*sin60+ab^2=ac^2+bc^2
sin60=(ac^2+bc^2-ab^2)/2bc*ac
角acb=60度，sinc=sin60=1/2
将角c代入上式得到余弦定理，所以该等式成立，
所以 证明
s三角形abc+s三角形abd=s三角形bce+s三角形acf
等式成立

Answer 2

我有相似的题供你参考一下：三边分别为a b c
由余弦定理 c方=a方+b方-2abcos60度=a方+b方-ab

三角形面积分别为 S△BCE=√3/4*a方 S△ACF=√3/4*b方
S△ABD=√3/4*c方 S△ABC=√3/4*ab

前2面积和=后2面积和