Question

已知定义在R上的函数F(x)=b-2^x/2^x+a是奇函数 1 求ab的值； 2判断F（x)的单调性用单调性定义证明；

3 若对任意的t属于R 不等式F(t-2t^2)+F(-k)>0 恒成立 求实数k的取值范围

Answer 1

1）
f(x)=(b-2^x)/(a+2^(x+1))是R上奇函数
f(0)=(b-1)/(a+2)=0
b=1

f(-x)=(b-2^(-x))/(a+2^(-x+1))
=(b*2^x-1)/(a*2^x+2)
f(x)=-f(-x)
(b-2^x)/(a+2^(x+1))=-(b*2^x-1)/(a*2^x+2)
(ab-2)*2^x-a(2^x)^2+2b=(2-ab)2^x-2b(2^x)^2+a
(2b-a)(2^x)^2+2(ab-2)*2^x+2b-a=0
(2-a)(2^x)^2+2(a-2)*2^x+(2-a)=0
(2-a)(2^x-1)^2=0
a=2

a=2,b=1
f(x)=(1-2^x)/2(1+2^x)
(2)将f(x)变形，可以得到f（x)= (-1-2^x+2)/(1+2^x)=-1+2/(2^x+1)
任意的实数x1<x2
则f(x1）-f(x2)=2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)=2(2^x2-2^x1)/[（2^x1+1)( 2^x2+1）]>0
所以f(x1）>f(x2)
因此f（x）在R上是减函数

Answer 2

2)将f(x)变形，可以得到f（x)= (-1-2^x+2)/(1+2^x)=-1+2/(2^x+1)
任意的实数x1<x2
则f(x1）-f(x2)=2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)=2(2^x2-2^x1)/[（2^x1+1)( 2^x2+1）]>0
所以f(x1）>f(x2)
因此f（x）在R上是减函数