Question

数学题，拜托各位了

1.求证：当n为整数是，形如4n+3的质数有无穷多个。
2.设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n使得m（m+k）=n(n+1)?
3,证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤u／v≤（1＋√5）／24.10个学生参加n个课外小组，每一个小至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中，求n的最小值。
还有一个！！！
在三角形ABC中是否存在一个点P，使得过P的任意一直线多将该三角形分成三角形分成等面积的两部分？为什么？
那个，各位可不可以写得详细一点，我很笨的，一点点的提示对我没什么作用，呵呵！

Answer 1

这题目都不太难，可是要做也真要花些时间。

第一题：
证明：假设只有有限多个 4n+3 型的质数， 它们分别是 P(1), P(2), ..., P(k).
令 Q=P(1)^2P(2)^2...P(k)^2+2,

首先， P(1)^2, P(2)^2 等等都是 4n+1 型的数，所以 Q 是 4n+3 型的数。 Q 只能有 4n+1 型和 4n+3 型的素因数，而且至少有一个4n+3 型的素因数R, 因为 若干4n+1 的数的乘积仍然是 4n+1 型， 不可能等于 Q. 其次， 因为 Q 除以 P(1), P(2), ..., P(k) 的余数都是 2， R 不可能是 P(1), ..., P(k) 中任何一个。我们找出了一个新的 4n+3 型质数， 与假设矛盾。