Question

数学压轴题一道,难啊难啊难啊~~`

已知f(x)=ax^2-bx+1
(1)若f(x)>0的解集是(-3,4),求实数a b的值
(2)若a为整数,b=a+2,且f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值
(3)设g(x)=2^(x^2-2x)对任意实数x1,总存在实数x2使f(X1)=g(x2),求a b满足的条件

Answer 1

(1)，f(x))=ax^2-bx+1>0的解集是(-3，4)，即
二次函数f(x))=ax^2-bx+1的图象开口向下，且-3，4是函数的两个零点，
所以-3+4=b/a，-3*4=1/a，
a=-1/12，b=1/12。
(2)，b=a+2，则：f(x)=ax^2-(a+2)x+1，
f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点，则：
f(-2)*f(-1)<0 ， (6a+5)(2a+3)<0，
所以 -3/2<a<-5/6，
a为整数，所以 a=-1。
(3)，g(x)=2^(x^2-2x)，f(x)=ax^2-bx+1，
因为x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1，
所以g(x)>=1/2 ；
f(x)=ax^2-bx+1=a(x-b/2a)^2+1-b^2/4a，
当a>0时，f(x)>=1-b^2/4a，
当a<0时，f(x)<=1-b^2/4a。
据题意，对任意实数x1,总存在实数x2使f(x1)=g(x2)，
即函数f(x)，g(x)值域相同。
所以 当a>0时，1-b^2/4a=1/2，
所以 b^2=2a (a>0)。
故所求a b满足的条件为：b^2=2a (a>0)。

Answer 2

-2，-1，0，1，2，3，4