Question

高二数学的题

已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.
（1）当直线BD过点（0,1）时，求直线AC的方程；
（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值。
请加以解释，谢谢！

Answer 1

Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
由 得
因为A，C在椭圆上，
所以△＝-12n2+64＞0，解得
设A，C两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),
则
所以
所以AC的中点坐标为
由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，
所以 ，解得n=-2.
所以直线AC的方程为 ，即x+y+2=0.
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且 ,
所以
所以菱形ABCD的面积
由（Ⅰ）可得
所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值