Question

抛物线问题

若斜率为2的动直线L与抛物线x^2=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点
（1）求线段AB中点P的轨迹方程
（2）若向量OA*向量OB≤60，求直线L在y轴上截距的取值范围

Answer 1

(1)由题意：设直线L为y=2x+b，且直线过定点（0,b）
A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P为(x,y)
联立得方程x^2-8x-4b=0
则x1,x2为方程的两根（利用韦达定理求两根积和）
得x1+x2=8,x1*x2=-4b
∴(x1+x2)/2=4，(y1+y2)/2=8+b
∴P(4,8+b)
即x=4,y=8+b.P的轨迹为x=4
(2)∵向量OA*向量OB≤60
∴cos<向量OA*向量OB>=(向量OA*向量OB)/(|OA|*|OB|)≥1/2
即(x1x1+y1y2)/[((x1^2+y1^2)*(x2^2+y^2))^1/2]≥1/2
由已知：x1+x2=8,x1*x2=-4b
y1y2=4x1x2+2x1+2x2+b^2=b^2-16b+16
∴(b^2-20b+16)/[(b^2-20b+16+y1^2*x2^2+y^2*x1^2)^1/2]≥1/2
8x-4y+4b=0即为直线AB的方程.
直线L在y轴上截距为b

……好吧……我算不下去了……