Question

一道与函数有关的数学题

如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；
矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3。
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从A点出发向B点匀速移动，设它们移动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）。
①当t=2.5时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1:y=-x² + 4x
2:当t=2.5时,点P坐标(2.5 ,2.5 )
直线ME方程:y=-2x+8
把点P带入直线,等式不成立,点P不在直线ME上

t秒后,点P纵坐标=t,点N纵坐标=-t²+4t
PN=-t²+3t (0＜t＜4)
当t=3/2时,PN有最大值=9/4
S四边形PNCD最大值=3(9/4 + 3)/2 =63/8